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C 語言初學教材 - 第五章 遞迴函數

數學上的數列是按順序排列的數字,有些數列採取遞迴定義,所謂的遞迴是說數列中的數字可由前幾項計算出來,例如費伯納西數列由 0 和 1 開始,往後的數字都由前兩項相加,形成如下的數列

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ....


我們也能將利用遞迴的計算方式寫進程式中,例如,計算以上的費伯納西數列
#include <stdio.h>

int fabonacii(int n);

int main(void)
{
    int i;
    
    for (i = 0; i < 16; i++) {
        printf("%d ", i, fabonacii(i));
    }
    printf("\n");
    
    return 0;
}

int fabonacii(int n)
{
    if (n == 0 || n == 1) {
        return 1;
    }
    else {
        return fabonacii(n - 1) + fabonacii(n - 2);
    }
}

/* 《程式語言教學誌》的範例程式
    http://pydoing.blogspot.com/
    檔名:recursive2.c
    功能:計算費伯納西數列
    作者:張凱慶
    時間:西元2010年7月 */


編譯後執行,如下



計算費伯納西數是利用函數 fabonacii() ,函數內容分成初始條件跟遞迴條件,其中,初始條件在第 19 行
if (n == 0 || n == 1) {
    return 1;
}


遞迴條件則在第 23 行
else {
    return fabonacii(n - 1) + fabonacii(n - 2);
}


若是 n 為 0 或 1 ,也就是數列中第二個及第三個數字, fabonacii() 回傳 1 ,而 n 大於 2 的話, fabonacii() 回傳 fabonacii(n - 1) + fabonacii(n - 2) ,咦? fabonacii() 回傳的是呼叫自己。


是的,遞迴函數就是呼叫自己的函數,因為遞迴方式的求解就是把狀況拆解成更簡單的狀況,以計算費伯納西數來說,由於初始的費伯納西數為 0 跟 1 ,其後每個費伯納西數都是前兩個費伯納西數的合,因此 fabonacii() 需要把情況拆解到最初始的狀況才能實際求解,如下圖



所以 fabonacii() 一直反覆呼叫自己到 n 等於 0 及 1 ,才會陸續得到各個函數值,最後相加得到結果。我們在此不深究遞迴函數是如何運作的,只要知道當遞迴次數越多,所需的記憶體空間也越多,因此會需要更多的計算時間。


另一個常見的遞迴函數例子,就是利用遞迴的方式計算階層數
#include <stdio.h>

int factorial(int n);

int main(void)
{
    int i;
    
    for (i = 0; i < 10; i++) {
        printf("%d! = %d\n", i, factorial(i));
    }
    
    return 0;
}

int factorial(int n)
{
    if (n == 0 || n == 1) {
        return 1;
    }
    else {
        return n * factorial(n - 1);
    }
}

/* 《程式語言教學誌》的範例程式
    http://pydoing.blogspot.com/
    檔名:recursive1.c
    功能:計算階層
    作者:張凱慶
    時間:西元2010年7月 */


編譯後執行,如下



計算階層數的初始條件為 n 等於 0 或 1 的時候,計算結果為 1 ,反之,遞迴條件回傳 n * factorial(n - 1) ,也就是 n 乘上前一個階乘數。


問題與討論
  1. 遞迴有什麼優點跟缺點?
  2. 為什麼遞迴次數越多,所需的記憶體空間也越多?




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